A guideline for students who want to do PDE
(PDE를 전공하고자 하는 학생들을 위한 도움말, by 김용정 2011.11.02)

편미분 방정식은 해석학이 아니다. 단지 해석적인 도구를 쓸 뿐이다. 물론 해석적인 도구만 사용하는 것도 아니다. 점점 기하적인 방법을 도입하고 있으며 대수적인 구조도 활용한다. 그러나 가장 기본이 되는 것은 해석학적 방법론이다. 따라서 해석학을 잘하는 것은 중요하다. 어떻게에 해당하는 것이기 때문이다.

PDE 분야뿐만 아니라 수학의 전 분야 아니 모든 학문 분야에서 진정 중요한 것은 무엇을 할 것인가 이다. 방법은 그 목적을 이루기 위한 수단이어서 중요할 뿐이다. 만약 다양한 종류의 물리적인 현상에 관심이 있는 수학 전공자라면 PDE 분야를 전공으로 선택해도 무난할 것이다. 역학, 천문학, 생물학, 화학 등 다양한 물리현상은 PDE 분야뿐 아니라 수학의 전분야 아니 모든 학문 분야 전체를 지속적으로 자극하고 풍성하게 한다. 그러한 면에서 Jules Henri Poincare (1854-1912)가한 다음의 말은 음미할 만하다. "One would have to completely forgotten the history of science so as not to remember that the desire to know nature has had the most constant and the happiest influence on the development of mathematics."

PDE를 제대로 하기 위해서는 그 식의 의미하는 바를 명확하게 알아야 한다. 하나의 수학적인 모델이 어떻게 유도 되었고 어떠한 물리적인 의미를 갖는가 하는 것 뿐 아니라 어떠한 불완전성을 갖는지 실제 문제와 어떠한 차이를 가지고 있는지 이해하는 것이 중요하다. 따라서 다양한 문제의 모델링 과정에 대해 이해하고 현재 가지고 있는 모델의 수학적인 문제점을 물리적인 현상에 가까운 모델을 제시하여 해결 할 수 있다면 문제를 해결해 나가는 적절한 방향이다. 이를 위해서는 다양한 모델링 과정을 통해서 얻을 수 있는 직관과 경험이 필요하다. 수학의 발전은 하나의 주어진 문제를 깊이 있게 이해하고 분석하는 데에 있지 하나의 얕은 이해를 다양한 문제에 적용하는데 있지 않다. 그러한 면에서 G. F. Bernhard Riemann (1826-1866)이 한 다음의 말은 음미 할 만하다. "Just as the most fruitful methods for linear PDE's have been obtained not by developing the general idea of this problem but rather by treating particular physical problems, so too the theory of nonlinear PDE's seems to be best advanced by a circumstantial treatment of particular physical problems."

따라서 PDE를 전공하고자 하는 학생들에게 다양한 물리적인 현상을 수학적으로 이해하는 모델링에 관한 경험을 많이 쌓으라고 권한다. 또한 해석학적인 분석기법을 충분히 익힐 것도 권한다. PDE는 또 하나의 커다란 방법론이 있는데 컴퓨터를 이용한 수치적인 계산이다. 수치기법을 분석하는 numerical analysis를 전공하지 않는다고 해도 기본적인 수치 기법을 사용하고 matlab 등의 상용 코드를 이용해서 간단하게 simulation해 볼 수 있는 능력을 갖는 것은 많은 도움이 된다. 아마도 어떤 학생들은 "PDE를 하려면 너무 많은 것을 해야 되서 힘들겠다"고 말할 수 있다. 맞는 말이다. 실제로 그러한 점을 우려하는 PDE 분야의 사람들이 있다. 그러나 PDE를 하면서 이젠 할게 없으면 어떡하나 하는 걱정은 안해도 된다는 것은 확실하게 말해 줄 수 있다.

이제까지 우리가 받은 수학교육은 이미 된 문제에 대해서 어떻게 하면 더 일반적인 결과를 만들어 낼 것인가 이었다. 그러나 그것은 PDE의 영역이 아니라 해석학의 영역이다. 즉, 주어진 문제에서 사용된 방법의 핵심적인 사항은 무엇이고 그렇게 핵심적인 사항만을 뽑아 내어서 얼마나 일반화 시킬 수 있는가 하는 "방법론적인" 문제이다. PDE 전공자라면 G. F. Bernhard Riemann이 말할 것 처럼 이와 같은 방법론의 일반화로 다가가지 말고 다양하고 구체적인 문제들에 집중하여 PDE를 하기를 바란다.

이제까지 우리가 받은 수학 교육은 무엇을 하면 안 되는 것인가 이었다. 이제는 무엇을 할 수 있을 것인가로 그 시각이 전환 되야 한다. 그러한 시각을 가진 사람들만이 진보를 만들어 낼 수 있다. 되지 않는 10개의 이유를 찾으려고 하지 말고 되어야만 하는 하나의 이유를 찾는 것이 더 의미가 있다. 여기에는 상상력이 필요하다. 그러한 면에서 Albert Einstein(1879-1955)이 한 다음의 말은 음미 할만 하다. "I believe in intuition and inspiration. Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution. It is, strictly speaking, a real factor in scientific research." 그가 한 다음의 말도 같은 맥락으로 음미할 만 하다. "The intuitive mind is a sacred gift and the rational mind is a faithful servant. We have created a society that honors the servant and has forgotten the gift."